Computer Graphics 2d Transform

基本二维变换

§ Object in model coordinates

§ Transform into world coordinates

§ Represent points on object as vectors

§ Multiply by matrices

§ Demos with applet

§ 2D transformations: rotation, scale, shear 错切

§ Composing transforms

§ 3D rotations

§ Translation: Homogeneous Coordinates (next time) 齐次坐标，用来处理法向变换 和 遮挡

§ Transforming Normals (next time)

缩放矩阵是一个对角矩阵， 将 x y z 放大为 sx sy sz 倍

shear 错切

中间线是没有 shear的。

x’ = x + ay y’ = y

旋转的顺序在二维空间无影响，在三维情况下会影响。

公式的推导，主要是 三角函数 展开 coscos- sinsin

cosi = np.cos(151*np.pi/180)

sini = np.sin(151*np.pi/180)

rotation = np.matrix([[cosi,-sini],[sini, cosi]])

i = np.matrix([8.0,7.0])

np.dot(rotation,i.T)

matrix([[-10.390625 ],

​ [ -2.24386099]])

组合变换 Composing Transforms

Often want to combine transforms

§ E.g. first scale by 2, then rotate by 45 degrees

§ Advantage of matrix formulation: All still a matrix

§ Not commutative!! Order matters

多个变换。 矩阵相乘，还是一个矩阵

连接矩阵顺序是不可以交换的，矩阵乘法没有交换性

先尺度，再旋转 ， 是变尺度后旋转，

而旋转之后改变尺度，会出现错切的现象。

操作是不可逆的

如何进行逆变换

方式1： 先将矩阵相乘，然比如M 找M的逆

方式2 单独求解每一个矩阵的逆，但是要改变顺序

记住 R(A+B)=R(A)R(B)

在这里, θ=∑180i=1=181⋅1802=16290

需要将旋转角求和模360 (因为旋转x 度等价于旋转 x+360度)。 因此, 这里的旋转角就是 16290 mod 360=90 度

三维旋转

二维旋转有一个重要性质 R^T * R = I

旋转是正交的 Orthogonal

二维旋转可以堪称三维中 Z轴不变的旋转

旋转矩阵的三行是新坐标系的三个单位向量

可以根据三个正交向量构建要给旋转矩阵

可以将点投影到新的坐标系

三维旋转是不可以交换顺序的

向量b 围绕 坐标轴 a 旋转

b平行于a的分量是不变的

b垂直于a的分量 等于b - b

平行于a的

假设a为Z轴， B 当作x轴

x绕z转，会转到y上，向量c就是Y轴

C = a x b 叉乘

3D中绕任意轴的旋转

当然也能绕3D中的任意轴旋转。因为这里不考虑平移，可以假设旋转轴通过原点，这种旋转比绕坐标轴的旋转更复杂也更少见。用单位向量n描述旋转轴，和前面一样用θ描述旋转量。

让我们导出绕轴n旋转角度θ的矩阵，也就是说，我们想得到满足下面条件的矩阵 R(n, θ)：

vR(n, θ) = v’

v‘是向量v绕轴n旋转后的向量。让我们看看能否用v，n和θ表示v’。我们的想法是在垂直于n的平面中解决这个问题，那么这就转换为了一个简单的2D问题。为了做到这一点，将v分解为两个分量：**v

和v**⊥，分别平行于n和垂直于n，并有v = **v

+ v**⊥。因为**v

平行于n，所以绕n旋转不会影响它。故只要计算出v**⊥绕n旋转后的 v⊥‘，就能得到 v’ =**v

** + v⊥‘。为了计算v⊥‘，我们构造向量**v

** ，v⊥和临时向量w，如图8.12所示：

’

上图展示了以下向量：

（1）**v

** 是v平行于n的分量，另一种说法就是**v

** 是v在n上的投影，用（v.n）n计算。

（2）v⊥是v垂直于n的分量，因为 v = **v

+ v**⊥，所以 v⊥ = v - **v

**。v⊥是v投影到垂直于n的平面上的结果。

（3）w是同时垂直于**v

和v**⊥的向量，它的长度和v⊥的相同。w和v⊥同在垂直于n的平面中，w是v⊥绕n旋转90度的结果，由n x v⊥可以得到。

现在，v’垂直于n的分量可以表示为：

来自 https://www.cnblogs.com/jiahenhe2/p/7954707.html

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